AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprufung
Name:
Klasse:
S. 2/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthalt Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhangig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie fur die Bearbeitung ausschlieslich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfugung gestellte
Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafur vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt
des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier.
Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 25a1) auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Losung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Losung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Losungen angegeben sind, gilt die
Aufgabe als nicht gelost.
Die Verwendung der vom zustandigen Regierungsmitglied
fur die Klausurarbeit freigegebenen Formelsammlung
fur die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfahiger
Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmoglichkeit
(z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien
im elektronischen Hilfsmittel
nicht moglich ist.
Eine Erlauterung der Antwortformate liegt im Prufungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden.
Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Arbeitsblatter sind abzugeben.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Ubermalen Sie das Kastchen mit der nicht mehr
gultigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewunschte Kastchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewahlt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geandert.
1 + 1 = 3 ?
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 ?
4 + 4 = 4 ?
5 + 5 = 9 ?
6 + 6 = 10 ?
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Ubermalen Sie das Kastchen mit der nicht mehr
gultigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewunschte ubermalte Kastchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ ubermalt
und dann wieder gewahlt.
1 + 1 = 3 ?
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 ?
4 + 4 = 4 ?
5 + 5 = 9 ?
6 + 6 = 10 ?
Bewertung
Jede Aufgabe im Teil 1 und jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, . oder
1 Punkt bewertet. Die jeweils zu erreichenden Punkte sind bei jeder (Teil-)Aufgabe angefuhrt.
Beurteilungsschlussel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genugend
0 – 16,5 Punkte Nicht genugend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 3/36
Aufgabe 1
Rationale Zahlen
Nachstehend sind Aussagen uber rationale Zahlen gegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Fur alle rationalen Zahlen a und b gilt: a + b ? 0.
Zu jeder rationalen Zahl a gibt es eine rationale Zahl b so, dass
gilt: a + b = 0.
Es gibt rationale Zahlen a und b mit a ? b < b.
Wenn von den beiden rationalen Zahlen a und b, b ? 0, genau
eine positiv ist, dann ist der Quotient ab
auf jeden Fall positiv.
Wenn von den beiden rationalen Zahlen a und b mindestens eine
negativ ist, dann ist das Produkt a ? b auf jeden Fall negativ.
[0 / 1 P.]
S. 4/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 2
Kleidungsstuck
Am Ende des Jahres 2017 lag der Preis eines bestimmten Kleidungsstucks bei € 49,90. Damit
war es um 17,8 % teurer als zu Beginn des Jahres 2017.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, um welchen Geldbetrag das Kleidungsstuck im Laufe des Jahres 2017 teurer geworden
ist.
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 5/36
Aufgabe 3
Schulsportwoche
Fur eine Schulsportwoche bucht eine Schule in einem Jugendgastehaus x Vierbettzimmer und
y Sechsbettzimmer. Alle gebuchten Zimmer werden vollstandig belegt.
Die Buchung kann durch das nachstehende Gleichungssystem beschrieben werden.
I: 4 ? x + 6 ? y = 56
II: x + y = 12
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Es werden genau 4 Vierbettzimmer und genau 6 Sechsbettzimmer gebucht.
Es werden weniger Vierbettzimmer als Sechsbettzimmer
gebucht.
Es werden genau 12 Zimmer gebucht.
Es werden Betten fur genau 56 Personen gebucht.
Es werden genau 10 Zimmer gebucht.
[0 / 1 P.]
S. 6/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 4
Parameterdarstellung von Geraden
Die nachstehende Abbildung zeigt die beiden Geraden g und h. Auf jeder der Geraden sind drei
Punkte gekennzeichnet: A, B, P ? g bzw. B, C, Q ? h.
Zusatzlich ist von jeder Geraden ein Richtungsvektor dargestellt.
v
w
C
B
Q
P
A
g h
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, bei denen s, t ? ? mit s ? 0 und t ? 0 so gewahlt werden
konnen, dass die jeweilige Aussage wahr ist. [2 aus 5]
A = C + s ? v + t ? w
B = C + s ? v
B = Q + t ? w
A = P + s ? v + t ? w
C = P + t ? w
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 7/36
Aufgabe 5
Quadrat
Von einem Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D sind der Eckpunkt C = (5 | –3) und der
Schnittpunkt der Diagonalen M = (3 | 1) gegeben. Die Eckpunkte A, B, C und D des Quadrats
sind dabei gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte A und B.
A =
B =
[0 / ½ / 1 P.]
S. 8/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 6
Rampe
Eine Rampe mit einer (schragen) Lange von d Metern uberwindet einen Hohenunterschied von
h Metern (d > 0, h > 0). Der Steigungswinkel
der Rampe wird mit ? bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die den gegebenen Sachverhalt richtig beschreiben.
[2 aus 5]
d =
h
sin(?)
d = h ? cos(?)
d = h
cos(90° – ?)
d = h ? sin(90° – ?)
d = h ? tan(?)
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 9/36
Aufgabe 7
Ideales Gas
Die Gleichung p ? V = n ? R ? T beschreibt modellhaft den Zusammenhang zwischen dem
Druck p, dem Volumen V, der Stoffmenge n und der absoluten Temperatur T eines idealen
Gases, wobei R eine Konstante ist (V, n, R ? ?+ und p, T ? ?0
+).
Die Funktion p modelliert in Abhangigkeit von der Temperatur T den Druck p(T), wenn die
anderen in der Gleichung vorkommenden Grosen konstant bleiben.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen einer solchen Funktion p.
p(T)
T
0
0
[0 / 1 P.]
S. 10/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 8
Funktionstypen
Gegeben sind vier Funktionstypen sowie sechs Wertetabellen der Funktionen f1 bis f6, die jeweils
einem bestimmten Funktionstyp angehoren. Die Funktionswerte von f1 sind auf zwei Dezimalstellen
gerundet.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie jedem der vier angegebenen Funktionstypen jeweils die entsprechende Wertetabelle
(aus A bis F) zu.
A
x f1(x)
–2 –0,91
–1 –0,84
0 0
1 0,84
2 0,91
B
x f2(x)
–2 8
–1 2
0 0
1 2
2 8
C
x f3(x)
–2 –7
–1 –1
0 0
1 1
2 9
D
x f4(x)
–2 0,25
–1 0,5
0 1
1 2
2 4
E
x f5(x)
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
F
x f6(x)
–2 –0,5
–1 –1
0 nicht definiert
1 1
2 0,5
lineare Funktion
quadratische Funktion
Exponentialfunktion
Sinusfunktion
[0 / ½ / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 11/36
Aufgabe 9
Direkte Proportionalitat
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion f: ? ? ? mit f(x) = k ? x + d mit k, d ? ? verlauft
durch die Punkte A = (xA | 6) und B = (12 | 16).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinate xA des Punktes A so, dass die Funktion f einen direkt proportionalen
Zusammenhang beschreibt.
xA =
[0 / 1 P.]
S. 12/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 10
Quadratische Funktionen
In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der beiden reellen Funktionen f und g dargestellt.
Es gilt:
f(x) = a ? x2 + b mit a, b ? ?
g(x) = c ? x2 + d mit c, d ? ?
f(x), g(x)
x
f
g
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
Die Koordinaten der gekennzeichneten Punkte sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
d = f(0)
b = d
a = –c
–f(x) = g(x) fur alle x ? ?
f(2) = g(2)
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 13/36
Aufgabe 11
Halbwertszeiten von Zerfallsprozessen
Die drei Exponentialfunktionen N1, N2 und N3 beschreiben jeweils einen Zerfallsprozess mit den
zugehorigen Halbwertszeiten ?1 , ?2 und ?3 .
Nachstehend
sind Ausschnitte der Graphen dieser drei Funktionen abgebildet.
N1(t), N2(t), N3(t)
N1
N3
N2
0 t
0
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie die Halbwertszeiten ?1 , ?2 und ?3 der Grose nach. Beginnen Sie mit der kurzesten
Halbwertszeit.
< <
[0 / 1 P.]
S. 14/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Funktionsterm
Von einer reellen Funktion f: ? ? ?+ ist Folgendes bekannt:
• f (1) = 3
• Fur alle reellen Zahlen x gilt: f(x + 1) ist um 50 % groser als f(x).
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Funktionsterm einer solchen Funktion f an.
f (x) =
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 15/36
Aufgabe 13
Diat
Hannes machte eine zehnwochige Diat und notierte dabei am Beginn jeder Woche und am Ende
der Diat seine Korpermasse (in kg). Diese Werte sind im nachstehenden Diagramm dargestellt.
Zeit in Wochen
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
90
88
86
84
82
80
0
92
Körpermasse in kg
Aufgabenstellung:
Geben Sie die absolute Anderung (in kg) und die relative Anderung (in %) der Korpermasse von
Hannes vom Beginn bis zum Ende der zehnwochigen Diat an.
absolute Anderung: kg
relative Anderung: %
[0 / ½ / 1 P.]
S. 16/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 14
Anderungsraten einer Polynomfunktion
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Polynomfunktion f und der Punkt A = (x1 | f(x1))
des Graphen von f dargestellt.
f(x)
f
x
A = (x1| f(x1))
0
0
Fur eine Stelle x2 in der obigen Abbildung mit x2 > x1 gelten folgende Bedingungen:
• Der Differenzialquotient von f an der Stelle x2 ist negativ.
• Der Differenzenquotient von f im Intervall [x1; x2] ist null.
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P = (x2 | f(x2)), bei dem beide oben
genannten Bedingungen erfullt sind.
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 17/36
Aufgabe 15
Karpfen
Die Anzahl der Karpfen in einem Teich soll auf 800 Karpfen beschrankt sein. Modellhaft wird
angenommen, dass der Karpfenbestand in jedem Jahr um 7 % der Differenz zum maximalen
Karpfenbestand
von 800 Karpfen zunimmt.
Die Anzahl der Karpfen nach n Jahren wird mit F(n) bezeichnet. Es gilt: F(0) = 500.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Differenzengleichung an, die die Entwicklung des Karpfenbestands zutreffend
beschreibt. [1 aus 6]
F(n + 1) = F(n) + 0,07 ? (800 – F(n))
F(n) = F(n + 1) + 0,07 ? (800 – F(n + 1))
F(n + 1) = F(n) + 1,07 ? (800 – F(n))
F(n + 1) = F(n) + 0,07 ? (F(n) – 800)
F(n + 1) = 800 – 0,07 ? F(n)
F(n) = 800 – 0,07 ? F(n + 1)
[0 / 1 P.]
S. 18/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Bestimmtes Integral
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der in jedem Fall mit ?5
2
f(x) dx ubereinstimmt. [1 aus 6]
F(5) – F(2)
5 – 2
F(5) – F(2)
F(2)
F(5) – F(2)
F(5) + F(2)
F(2) + F(5)
2
F(5)
F(2)
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 19/36
Aufgabe 17
Funktionseigenschaften
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der 1. Ableitungsfunktion f? einer Polynomfunktion
f dargestellt.
f?(x)
f?
–3 –2 –1 0 1 2 3
0 x
2
1
3
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Funktion f auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Im Intervall [–3; 3] ist die Funktion f streng monoton steigend.
Der Graph von f ist im Intervall [–3; 3] symmetrisch zur senkrechten Achse.
Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine Wendestelle.
Im Intervall [–3; 3] sind alle Funktionswerte von f positiv.
Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine lokale Extremstelle.
[0 / 1 P.]
S. 20/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 18
Wasserzufluss
Ein Behalter wird innerhalb von 6 Minuten mit Wasser befullt.
Die Zuflussrate gibt an, wie viel Liter Wasser pro Minute in den Behalter zufliesen. Dabei nimmt
die Zuflussrate Z(t) in Abhangigkeit von der Zeit t linear ab.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion Z dargestellt (t in Minuten,
Z(t) in Litern pro Minute). Die gekennzeichneten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
Z(t) in Litern pro Minute
t in Minuten
0 1 2 3 4 5 6 7
Z
20
15
10
5
25
0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, wie viele Liter Wasser in diesen 6 Minuten in den Behalter zufliesen.
Liter
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 21/36
Aufgabe 19
Aufnahmetest
Bei einem bestimmten Aufnahmetest konnten maximal 10 Punkte erreicht werden. Das nachstehende
Saulendiagramm zeigt die relativen Haufi gkeiten der erreichten Punkte in Prozent.
20
15
10
5
0
25
relative Häufigkeit in %
erreichte Punkte
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Die bei diesem Aufnahmetest erreichten Punkte sind im nachstehenden Boxplot dargestellt.
erreichte Punkte
a b
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie a und b.
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]
S. 22/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 20
Gehalter
In einem kleinen Betrieb arbeiten sieben Personen. Nachstehend sind deren monatliche Gehalter
angegeben: € 1.500, € 2.300, € 1.500, € 1.400, € 4.500, € 2.200, € 1.300.
Es wird eine weitere Person eingestellt, wodurch sich der Median der Gehalter nicht verandert.
Aufgabenstellung:
Geben Sie unter dieser Voraussetzung das hochstmogliche Gehalt dieser weiteren Person an.
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 23/36
Aufgabe 21
Munzwurf
Eine Munze zeigt nach einem Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass die
Munze „Kopf“ zeigt, ist bei jedem Wurf genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Zahl“
zeigt. Die Ergebnisse der Wurfe sind voneinander unabhangig.
Bei einem Zufallsversuch wird die Munze 4-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Zufallsversuch „Kopf“ haufiger als „Zahl“
auftritt.
[0 / 1 P.]
S. 24/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 22
Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen
Eine bestimmte Zufallsvariable X kann nur den Wert –4, den Wert 0 oder den Wert 2 annehmen.
Fur die Wahrscheinlichkeiten gilt:
P(X = –4) = 0,3
P(X = 0) = a
P(X = 2) = b
Dabei sind a und b positive reelle Zahlen.
Der Erwartungswert von X ist null, also E(X) = 0.
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 25/36
Aufgabe 23
Rauchverhalten
Laut einer Studie wollen 34 % aller Raucher/innen mit dem Rauchen aufhoren.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang.
(2 0 0)
57 ? 0,3457 ? 0,66143
[0 / 1 P.]
S. 26/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 24
Korkender Wein
Der Geschmack von Wein kann durch einen bestimmten Stoff, der aus dem Korken einer Weinflasche
in den Wein gelangen kann, beeintrachtigt werden. Man spricht dann davon, dass der
Wein „korkt“.
In einem Weinbaubetrieb werden alle Weinflaschen eines bestimmten Jahrgangs mit Korken aus
derselben Produktion verschlossen. Bei einer spateren Uberprufung von 200 Weinflaschen dieses
Jahrgangs stellt sich heraus, dass der Wein von 12 Flaschen korkt.
Der relative Anteil der Weinflaschen aus einer Stichprobe, bei denen der Wein korkt, wird mit h
bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie fur diesen Weinbaubetrieb und diesen Jahrgang ein um h symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall
fur den unbekannten Anteil derjenigen Weinflaschen an, bei denen der Wein korkt.
[0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 27/36
Bitte umblättern.
S. 28/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 25 (Teil 2)
Koffein
Aufgabenstellung:
a) Lea trinkt eine Tasse Kaffee. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion K
dargestellt,
die modellhaft die Konzentration K(t) von Koffein in Leas Blut in Abhangigkeit von
der Zeit t nach dem Trinken des Kaffees beschreibt (t in h, K(t) in mg/L).
K(t) in mg/L
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
4
3
2
1
0
5
t in h
K
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung, wie viele Minuten nach dem Trinken des Kaffees
die maximale Konzentration von Koffein im Blut auftritt.
min [0 / 1 P.]
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Funktion K hat im Intervall (0; 0,8) 1 und in diesem Intervall andert sich
das Vorzeichen der 2 .
1
eine Wendestelle
eine Extremstelle
eine Nullstelle
2
Krummung
Steigung
Funktionswerte
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 29/36
b) Die Loslichkeit von Koffein in Wasser gibt an, wie viel Gramm Koffein pro Liter (g/L) maximal
gelost werden konnen. Die Loslichkeit ist temperaturabhangig. Sie lasst sich naherungsweise
durch die Funktion f beschreiben.
f(T) = 6,42 ? ?0,05 ? T mit 0 ? T ? 90
T … Temperatur in °C
f(T) … Loslichkeit von Koffein in Wasser bei der Temperatur T in g/L
Jemand behauptet:
„Bei einem Anstieg der Temperatur um 10 °C nimmt die Loslichkeit von Koffein in Wasser
etwa auf das 1,65-Fache zu.“
1) Uberprufen Sie rechnerisch, ob diese Behauptung richtig ist. [0 / 1 P.]
Folgende Gleichung wird aufgestellt:
2 ? 6,42 = 6,42 ? ?0,05 ? T
2) Interpretieren Sie die Losung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
S. 30/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
CO2 und Klimaschutz
In den letzten Jahrzehnten hat der CO2-Gehalt in der Erdatmosphare unter anderem durch den
Strasenverkehr zugenommen.
Aufgabenstellung:
a) Fur jeden PKW mit Benzinantrieb wird angenommen, dass pro Liter verbrauchten Benzins
2,32 kg CO2 ausgestosen werden.
PKW A fahrt eine Strecke von s km mit einem durchschnittlichen Benzinverbrauch von
7,9 Litern pro 100 km.
Um dessen CO2-Ausstos auszugleichen, sollen b Baume gepflanzt werden. Dabei nimmt man
an, dass jeder dieser Baume in seiner gesamten Lebenszeit 500 kg CO2 aufnimmt.
1) Stellen Sie unter Verwendung von s eine Formel zur Berechnung der Anzahl b der zu pflanzenden
Baume auf.
b = [0 / 1 P.]
PKW B legt eine Strecke von 15 000 km zuruck. Um dessen CO2-Ausstos auszugleichen,
werden 5 Baume gepflanzt.
2) Berechnen Sie den durchschnittlichen Benzinverbrauch (in Litern pro 100 km) von PKW B
auf dieser Strecke. [0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 31/36
b) Neben CO2 verstarken auch andere Gase die Klimaerwarmung. Die Emission von diesen
Gasen wird in sogenannte CO2-Äquivalente umgerechnet.
Die nachstehende Tabelle gibt fur einige Staaten der EU Auskunft uber die jeweilige Einwohnerzahl
(in Millionen) im Jahr 2015 und die zugehorigen CO2-Aquivalente (in Tonnen pro Person).
Einwohnerzahl in Millionen CO2-Aquivalente in Tonnen pro Person
Belgien 11,2 11,9
Frankreich 66,4 6,8
Italien 60,8 7,0
Luxemburg 0,6 18,5
Niederlande 16,9 12,3
Datenquellen: https://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php?title=Population_and_population_change_statistics/
de&oldid=320539 [24.07.2020],
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Lander_nach_Treibhausgas-Emissionen [24.07.2020].
1) Berechnen Sie die durchschnittlichen CO2-Aquivalente e (in Tonnen pro Person) fur den
gesamten in der obigen Tabelle angefuhrten Teil der EU.
e = Tonnen pro Person [0 / 1 P.]
Lukas sind nur die in der obigen Tabelle angefuhrten Werte der CO2-Aquivalente der einzelnen
Staaten bekannt, nicht aber die jeweils zugehorige Einwohnerzahl.
Er berechnet das arithmetische Mittel x der CO2-Aquivalente: x = 11,3.
2) Erklaren Sie ohne Verwendung des berechneten Wertes von e, warum x groser als e sein
muss. [0 / 1 P.]
S. 32/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm
Die Geschwindigkeiten von 2 PKWs (PKW A und PKW B) werden als Funktionen in Abhangigkeit
von der Zeit modelliert. Im unten stehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm sind die zugehorigen
Graphen dargestellt. Die Zeit t wird in Sekunden angegeben, die Geschwindigkeiten werden in m/s
angegeben.
PKW A und PKW B starten zum Zeitpunkt t = 0 aus dem Stillstand. Sie haben beide zum Zeitpunkt
t = 10 eine Geschwindigkeit von 12 m/s.
PKW A bewegt sich fur t ? [0; 6] mit der Geschwindigkeit v1(t) und fur t ? [6; 10] mit der
konstanten Geschwindigkeit v2(t).
PKW B bewegt sich fur t ? [0; 10] mit der Geschwindigkeit v3(t) = 0,12 ? t2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v1(t), v2(t), v3(t) in m/s
t in s
v1
v2
v3
12
10
8
6
4
2
0
14
Aufgabenstellung:
a) Im Zeitintervall [0; 6] legt PKW A eine Strecke von 36 m zuruck.
Im Zeitintervall [0; t1] mit 6 ? t1 ? 10 legt PKW A eine Strecke mit der Lange d zuruck (d in m).
1) Geben Sie d in Abhangigkeit von t1 an.
d = [0 / 1 P.]
Im Zeitintervall [0; 10] legt PKW A eine langere Strecke als PKW B zuruck.
2) Berechnen Sie, um wie viele Meter diese Strecke langer ist. [0 / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 33/36
b) Fur PKW A gilt:
• Zum Zeitpunkt t = 6 betragt die Geschwindigkeit 12 m/s.
• Zum Zeitpunkt t = 0 betragt die Beschleunigung 0 m/s2.
• Zum Zeitpunkt t = 3 hat die Beschleunigung ihren maximalen Wert.
Fur die Funktion v1: [0; 6] ? ? gilt:
v1(t) = p ? t3 + q ? t2 + r ? t fur alle t ? [0; 6] mit p, q, r ? ?
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen auf, mit dem die Koeffizienten p, q
und r berechnet werden konnen. [0 / ½ / 1 P.]
c) Die Beschleunigung von PKW B wird im Zeitintervall [0; 10] durch die Funktion a3 in Abhangigkeit
von der Zeit t beschrieben (t in s, a3(t) in m/s2).
1) Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Beschleunigungsfunktion
a3 ein. [0 / 1 P.]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
4
3
2
1
0
6
–1
a3(t) in m/s2
t in s
S. 34/36 Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wurfelspiel
Bei einem Wurfelspiel werden verschiedene Wurfel mit jeweils 6 Seitenflachen verwendet. Bei allen
verwendeten Wurfeln tritt bei jedem Wurf jede Seitenflache mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
wie jede der anderen Seitenflachen auf. Die Ergebnisse verschiedener Wurfe sind voneinander
unabhangig.
Es werden die 3 Wurfeltypen A, B und C verwendet. In der nachstehenden
Abbildung sind deren
Seitenflachen dargestellt.
Seitenflächen von Typ A
Seitenflächen von Typ B
Seitenflächen von Typ C
Aufgabenstellung:
a) Ein Spieler wurfelt 1-mal gleichzeitig mit einem Wurfel vom Typ B und einem Wurfel vom
Typ C.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewurfelten Augenzahlen 8
betragt. [0 / 1 P.]
b) Die Zufallsvariable XA bzw. XB bzw. XC gibt die Augenzahl beim Wurf eines Wurfels vom Typ A
bzw. B bzw. C an. Eine dieser drei Zufallsvariablen hat einen ganzzahligen Erwartungswert.
1) Geben Sie diesen ganzzahligen Erwartungswert an. [0 / 1 P.]
Die beiden anderen Zufallsvariablen haben die gleiche Standardabweichung.
2) Berechnen Sie diese Standardabweichung. [0 / 1 P.]
c) Mit einem Wurfel vom Typ C wird n-mal gewurfelt. Die Zufallsvariable Yn gibt an, bei wie vielen
von diesen n Wurfen mit einem Wurfel vom Typ C eine ungerade Augenzahl auftritt (n ? ?).
Mit ?n wird der Erwartungswert und mit ?n die Standardabweichung von Yn bezeichnet.
1) Geben Sie ?n und ?n in Abhangigkeit von n an.
?n =
?n = [0 / ½ / 1 P.]
Haupttermin 2021 / AHS / Mathematik S. 35/36